Large time behavior of solutions of viscous Hamilton-Jacobi Equations with superquadratic Hamiltonian

We study the long-time behavior of the unique viscosity solution $u$ of the viscous Hamilton-Jacobi Equation $u_t-\Delta u + |Du|^m = f\hbox{in }\Omega\times (0,+\infty)$ with inhomogeneous Dirichlet boundary conditions, where $\Omega$ is a bounded domain of $\mathbb{R}^N$. We mainly focus on the superquadratic case ($m>2$) and consider the Dirichlet conditions in the generalized viscosity sense. Under rather natural assumptions on $f,$ the initial and boundary data, we connect the problem studied to its associated stationary generalized Dirichlet problem on one hand and to a stationary problem with a state constraint boundary condition on the other hand

Large time behavior of solutions of a generalized Cauchy-Dirichlet problem for viscous Hamilton-Jacobi equations

Cette thèse, constituée de trois grandes parties, a pour objet l’étude générale ducomportement, en temps grands, de l’unique solution du problème de Cauchy-Dirichlet pour deséquations de Hamilton-Jacobi visqueuses de type sur et sous quadratiques. Après un bref rappeldes notions de base de la théorie sur les solutions de viscosité qui constitue le cadre de ce travail, lapremière partie établit des résultats sur l’existence globale en temps et l’unicité de la solution deviscosité dudit problème de Cauchy-Dirichlet. La deuxième partie s’intéresse au comportement decette solution pour des Hamiltoniens sur quadratiques. Sous des hypothèses très générales, nousprouvons que le comportement de la solution dépend du signe de l’unique constante ergodiquec du problème ergodique associé à des conditions aux limites de type contrainte d’état. Lorsquec∗ 0 et 3/2 0et 1 0 and 3/2 0 et 1 < m ≤ 3/2; we prove that for some domains,the function u(x; t)+c∗t is unbounded from below where u is the solution of the studied viscousHamilton-Jacobi, thus providing us with a result of non-convergence

Comportement asymptotique des solutions du problème de Cauchy-Dirichlet généralisé pour des équations de Hamilton-Jacobi visqueuses

Cette thèse, constituée de trois grandes parties, a pour objet l étude générale ducomportement, en temps grands, de l unique solution du problème de Cauchy-Dirichlet pour deséquations de Hamilton-Jacobi visqueuses de type sur et sous quadratiques. Après un bref rappeldes notions de base de la théorie sur les solutions de viscosité qui constitue le cadre de ce travail, lapremière partie établit des résultats sur l existence globale en temps et l unicité de la solution deviscosité dudit problème de Cauchy-Dirichlet. La deuxième partie s intéresse au comportement decette solution pour des Hamiltoniens sur quadratiques. Sous des hypothèses très générales, nousprouvons que le comportement de la solution dépend du signe de l unique constante ergodiquec du problème ergodique associé à des conditions aux limites de type contrainte d état. Lorsquec = 0; nous obtenons (ii) un comportement de type Hamilton-Jacobi (ou detype ergodique) se produit. Dans la troisième partie, consacrée à l étude pour des Hamiltonienssous-quadratiques, nous montrons qu il se produit un comportement de type (i) lorsque l uniqueconstante ergodique c ; du problème ergodique associé à des conditions aux limites de typeexplosives, est strictement négative et lorsque c > 0 et 3/2 0et 1 = 0; we obtain (ii) a behavior of Hamilton-Jacobi type (or ergodic-type) happen.In thethird part, devoted to the study for subquadratic Hamiltonians, we prove that a behavior of(i)-type happens when the unique ergodic constant c ; of the ergodic problem associated withblow-up boundary condition, is non-positve and when c > 0 and 3/2 0 et 1 < m <= 3/2; we prove that for some domains,the function u(x; t)+c t is unbounded from below where u is the solution of the studied viscousHamilton-Jacobi, thus providing us with a result of non-convergence.TOURS-Bibl.électronique (372610011) / SudocSudocFranceF